美しく楽しい数学!アートや建築物のデザインは、数学が入り込んでいる!その美しさや機能性、楽しさに触れれば、より身近に!

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美しく楽しい数学!アートや建築物のデザインは、数学が入り込んでいる!

美しく楽しい数学!アートや建築物のデザインは、数学が入り込んでいる!その美しさや機能性、楽しさに触れれば、より身近に!

 

美しく楽しい数学

書店には様々な「数学本」が並び、

世の中の数学への関心は年々高まっている。

一方で「難しくつまらない」「何の役に立つのかわからない」などと苦手意識を持つ人も少なくないだろう。

だが実は、アートや建築物のデザインなど、

意外なところに数学は入り込んでいる。

その美しさや機能性、

楽しさに触れれば、

数学はより身近なものに変わりうる。

 

 

ららぽーと豊洲の敷地内に設置されている「フラクタル日」よけ!


身近にある神秘の小宇宙!自然界の様々な形や現象には数学的な裏付けがある。宇宙の天体の運行も数学に支配されている!!!

 

「エクセルってこんなにきれいな画像が作れるなんて!」――-。

5月上旬、社会人などに向けて数学・統計学教室を展開する、和から=東京・渋谷 の

「エクセルアート超入門」と「数学的デザイン超入門」という2つのオンライン講座に参加してみた。

パソコンソフトのエクセルに様々な数値を入力すると、関数で計算された線や図形が描かれていく。

数値を変えるたび、形が複雑に変わっていく様子は、さながら曼陀羅=まんだら のよう。

チャット画面には、参加者たちの驚きや関心のコメントが次々に投稿された。

講師を務める、岡本健太郎さんは「数学を知ることでアートやデザインはより豊かになる」と話す。

九州大学大学院で関数の一種、「ゼータ関数」について研究し、2018年に数理学博士号を取得した岡本さん。

現在は数学講師の傍ら、「紫雲=しうん」という雅号で切り絵作家として二足のわらじを履く。

切り絵作品のモチーフは数学と書道だ。大学院生の頃「子供の頃からやっていた書道を立体的な作品にしてみたい」

と切り絵を始めたが、その制作過程で浮かんだのは様々な数式だった。

「数式が作り出すグラフや幾何学的で立体的な造形と、切り絵の間には親和性がある」。

例えば新作では、パソコンで詳細なベールを折り重ねたような図形を作成し、それを切り絵にして金色の書の上に配した。

数学的に描かれた曲線が複雑に重なり合って独特な立体感を生み、美を織りなす。

子供の頃から幾何学的な美しさに魅力を感じ「美しさの中には必ず数学が隠れている」

と考える岡本さんは、そうした美しさを切り絵の制作に結びつけてきた。

今では作品は様々な展覧会に出品され、今年4月号から雑誌

「数学セミナー」日本評論社 の毎月の表紙デザインにも採用された。

数学の美しさを、手にとって楽しめるアート作品もある。

金属加工や機械装置製造などを手がける大橋製作所=東京・太田 は、

「Z=axy」などの関数が描く立体的なグラスをステンレス製オブジェとして製造している。

表紙の4種類のオブジェは、それぞれ異なる2変数関数が描き出したもの。

数楽アート」という名称通り、見るだけでも楽しめて、なぜこの形になるのかと知的好奇心もくすぐられる。

創業100年を越す老舗町工場が、アート作品の製造に乗り出したのは十数年前。

当時社長だった大橋正義さん=現会長 が産学連携の一環で、ある大学の

数学者の研究室を訪れたところ、立体グラフの自作ペーパークラフトに目がとまったた。

「これを金属で作れませんか」。そう持ちかけられ「やらせて下さい」と引き受けた。

もともと数学に関心はあった。自然界の様々な形や現象には数学的な裏付けがある。

宇宙の天体の運行も数学に支配されている――。

そんな数学の神秘や美しさを熱く語る数学者の話を聞くうち、

「自分もますますその魅力の虜になった」と大橋さん。

もっとも、製品化は至難の業。

ステンレスを切断するレーザー加工機は直線はうまく切れるが、連続的に変化する関数グラフのような曲線を切るのは難しい。

関数が描く曲線のデータを適度に間引いて加工しやすくしながら、見た目には滑らかな曲線を描くようにする。

そんな工夫や職人技で、10年に商品化にこぎつけた。

現在形は全10種類、大きさは縦横高さが各7cm~14cmほどで、価額は1万円代から20万円近いものも。

通販の他、マルゼンなどの大手書店でも販売し、数学好きの医師などが購入する例が多いという。

身近な暮らしの中にも、数学的な美しさは隠れている。

ここ数年、全国各地の商業施設やオフィースビルなどの敷地内に相次ぎ登場している「フラクタル日よけ」だ。

「フラクタル」とはフランスの数学者、ブノワ・マンデルブロ=1924~2010年 が唄えた概念だ

図形に一部と全体が自己相似形=再帰的 になっている形を指す。

フランクタル日よけに使われている「シャルピンスキー・ギャスケット」もその一種。

正三角形の確変の中点を直線で結び、真ん中にできた正三角形を切り抜く。

残った三つの正三角形にについても同じ手順を繰り返していくことでできる。

「自然の木の枝や葉っぱの茂り方は一種のフランクタル。

それならフランクタル図形で日よけを作ってみたらと思いついた」。

発案者である、京都大学教授で地球環境問題などを研究する酒井敏さんはこう語る。

実験してみると、すき間だらけのシェルピンスキー・ギャスケットの

日よけは効果的に遮光・遮熱して地表温度を下げ、風を通すためにも涼しい。

いわば人工的な「木陰」だ。

夜間の放射冷却や、降雨後の水の蒸発による気温低下を妨げず、台風などの強風にも耐えやすい。

酒井さんはこの特許を取得。

ライセンスを受けた積水化学工業などが2010年ごろから商品化し、各地に広がり始めた。

実際アーバンドッグ ららぽーと豊洲=東京・豊洲 に設置されている

フラクタル日よけを見にゆくと、日よけの下の地面には、光が幾何学的な形の美しい影を落としていた。

これが数学がもたらした美しさだとは、普段はなかなか気づかないかもしれない。

 

 

1673年にかけられた錦帯橋!アーチの形状はカテナリー曲線、上下逆にした形になっている!


古代より真理求め続けて!カテナリー曲線!ABC予想!極めて困難な道のりを経てたどり着いた簡潔な結論に数学者は美しさを感じる!

 

数学は古代ギリシャの時代から、人々が感じる「美しさ」ときってもきれない関係にあった。

例えば、古代ギリシャの数学者、ピタゴラスは音の美しさから数学の真理に迫った。

「ピタゴラスは散歩の最中、鍛冶屋が鉄を叩く音には美しく響き合うものと、そうでないものがあることに気づいた」。

「とてつもない数学」=ダイヤモンド社 を著した永野数学塾=東京・千代田 塾長の永野裕之さんは、こう解説する。

ピタゴラスが調べてみると、鍛冶屋の職人が使うハンマーの重さによって音の高さに違いが生じていた。

音と音とが美しく響き合うときには、それぞれの持つハンマーの重さの比が

「2対1」や「4対3」のような単純な整数比になっている――。

この発見が、音楽の音の高さを整数比で決める「ピタゴラス音律」の発明につながった。

人間が美しいと感じる音の響きに数学的な規則が潜んでいる。

この驚くべき発見からピタゴラスは音階や音程の研究にのめり込み、最終的に

「宇宙の全ての心理が数によって成り立っているとする

『万物の源は数である』という思想にたどり着いた」永野さん。

音の美しさの探究が、「ピタゴラスの定理」など現代まで数学の基礎となる定理の数々を生み出したわけだ。

17世紀になると、フランスの哲学者で数学者のデカルトがx軸やy軸などの座標軸を使い、

平面や空間内の点を表す方法と「変数」という概念を生み出す。

このおかげで、円以外の曲線を数式で表せるようになった。

この曲線から生み出されるのが、様々な美しい建築物だ。

特に有名なのがスペインを代表する建築家、アント人・ガウディ=1852~1926年 の作品群だろう。

集合住宅「カサ・ミラ」や教会「サグラダ・ファミリア」など、

奇抜な外観に目を奪われがちだが、その設計は緻密な数学的計算に基づく。

「ガウディは『美しい形は構造的に安定している。

構造は自然から学ばなければならない』という考えの持ち主だった。

このため、建物の曲線をデザインする時も実験で決めていた」と永野さんは言う。

とりわけ、ガウディ建築によく使われているのが、2次方程式で表す放物線にも似た「カテナリー曲線」だ。

日本語では懸垂曲線=懸垂線 と言い、ロープや鎖、電線などの両端を固定して下に垂らしたときにできる曲線を指し、

1690年ごろに、スイスのベルヌーイやドイツのライプニッツら数学者によって数式化された。

このカテナリー曲線を上下逆にしてアーチ状にすると、構造的力学的に極めて安定する。

ガウディは実際にひもと重りを使ってカテナリー曲線を作り、多くの建築物をデザインした。

ガウディが「この曲線こそ最も自然であり頑丈であり、美しい構造だ」と考えていた様子がうかがえる。

実は日本にもカテナリー曲線が使われたとされる有名な橋がある。山口県岩国市の錦帯橋だ。

5連の木造アーチの形状がカテナリー曲線になっていると近年、専門家が指摘したのだ。

錦帯橋がかけられたのは1673年と、ガウディの建築群よりも200年以上も前。

欧州でカテナリー曲線が数学的に厳密に定義される前の時代だ。

設計者に数学的知識がなかったとしても、縄などを垂らして作った

曲線を基にして、あの美しいデザインを決めた可能性はありそうだ。

数学者は数学自体にも「美」を感じている。

東京大学の国際高等研究所カブリ数物連携宇宙研究機構教授、伊藤由佳理さんは

昨年の著書「美しい数学入門」=岩波新書 の中で「式がすっきりしていて美しいと感じることもあるし、

複雑なものもどこかでシンプルな形にまとまって感動することもある」と記した。

最も数学の美しさにたどり着くのは容易ではない。

正の整合A、Bと、その二つを足したCに対して、それぞれの

素因数を掛け合わせたDと比べると、ある特別な関係が成り立つ――。

これは「ABC予想」と呼ばれ、1985年にフランスとスイスの

数学者が提唱後、正しいかどうか未解決のままだった。

それから2012年、京都大学教授の望月新一さんが、証明法について

新しい理論を打ち立てたとネット上で公表。一躍、世界の数学会で話題となった。

だが、あまりに難解なことから今年春に国際専門誌へ論文が掲載されるまで8年半を費やした。

しかも依然として証明内容に懐疑的な数学者もいる。

切り絵作家の岡本さんは、ABC予想の証明について望月さん本人から話を聞いたそうだ。

「証明のために全く新しいオリジナルの演算記号を作るなど、誰も考えたことのない斬新な理論。

専門の数学者でも理解できない人がいるのも無理はない」

永野さんも「ABC予想も結論自体は簡潔。簡潔な結論に至る過程にはとても難しい道のりがある」と認める。

ただ、だからこそ「極めて困難な道のりを経てたどり着いた簡潔な結論に数学者は美しさを感じる」という。

望月さんの論文の歴史的評価はまだ定まっていないが、「新たな数学の美しさについて挑戦している」といえるかもしれない。

筆者にはABC予想はやや難解すぎるが、素人でも数学の美しさや楽しさに触れることはできそうだ。

まずは書店の棚から面白そうな数学本をまた一冊、探してみようと思う。  

宮田佳幸  山口朋秀撮影 日経新聞。

 

では「美しく楽しい数学」について研究をします!

 

 


下が、心臓の形をした曲線「カージオイド」!

見ても描いても楽しい!美しい数学の曲線たち!心臓の形をした曲線「カージオイド」!!

 

[見ても描いても楽しい!美しい数学の曲線たち]   

普段、私たちが見ているこの世界。ほんの少しだけ「数学」を知ってみると、意外な奥行きが見えてくるかもしれません。

今回は「美しい数学の曲線」を紹介します。実は、数式で表現される曲線とみなさんが日頃から見ている世界には、不思議な繋がりがあるのです。

「あれ、この曲線〇〇に見えるかも」なんて発見があるもしれませんね。

例えば、こんな数式で表現される曲線を描いていきます。

 𝑟=1+cos  7  8  𝜃  三角関数のコサインがあるし、何だか難しそうですね……。 

でも、実際に曲線を描いてみるとビックリ!味わい深く、美しく、意外な形が見えてきます。

[心臓の形をした曲線「カージオイド」]    

このなんともいえない可愛らしいフォルム。私にとって思い入れがある曲線なのです。

昔、数学の定期試験で、こんな問題が第一問として出題されました。 

以下の極方程式で表されるグラフの概形を描け。  

𝑟=1+cos𝜃(0𝜃≤2𝜋)

連日の試験勉強で疲れ切っていた私。

なんとか力を振り絞って計算し、グラフの形を探っていきました。

「ここでこんな風に曲がって、ここではこう下がって…」と、頭の中で独り言を呟きながら、

グラフを描いてみると… 

「ハート型みたいになった!」と、思わずホッコリ。

試験勉強の疲れが一気に吹っ飛んでしまいました。

この曲線は「カージオイド」と呼ばれ、日本語では「心臓形」とも呼ばれている有名な曲線です。

では、この「丸っこいハート型の曲線 カージオイド」で、遊んでみましょう!

[心臓形が花の形に]    

カージオイドを表現する数式は   

𝑟=1+cos𝜃   

でしたが、これを少し変えてみましょう。   

𝑟=1+cos2𝜃  として、  𝜃 を 2𝜃 に変え、グラフ描画ツールを用いて曲線を描いてみます。 

すると… ∞(無限大)のような形になりました。

メガネや、リボンにも見えますね。

では、次に  𝑟=1+cos𝜃 として、 𝜃 を 3𝜃 に変えてみます。

すると…… まるで花びらのようになりましたね。  

𝑟=1+cos4𝜃  にしてみると……  花びらが4枚になりました!  

𝑟=1+cos5𝜃  にしてみると……  花びらが5枚に! 

こんな風に心臓形が、花の形になっていくのです! 

では、最後に  𝑟=1+cos 7 8 𝜃 として、 𝜃 を 7 8  𝜃  変えてみます。

すると……  まるでバラを彷彿とさせる美しい曲線が現れました! 

心臓形から、こんな曲線ができるなんて。

想像がつきませんよね……。

[波が織りなす「リサジュ―曲線」]    

では、次に、花の曲線たちとは趣の違う曲線たちを見ていきましょう。

波が組み合わさってできる「リサジュ―曲線」です。 

その姿は独特で面白味があり、電気通信大学の校章やマサチューセッツ工科大学のリンカーン研究所のロゴマークにも採用されているのです。 

波の組み合わせ方により、様々な形が現れます。その姿をいくつか見てみましょう! 

まず 𝑥 𝑦 =sin2𝜃 =sin3𝜃 という数式で表現されるリサジュ―曲線を描いてみます。

すると…… まるで何かの軌道のようですね!

縄跳びのロープの動きのようにも見えます。

では、先ほどの数式を少しずつ変えながら、様々なリサジュ―曲線を見てみましょう! 

𝑥 𝑦 =sin3𝜃 =sin4𝜃 として、リサジュ―曲線を描いてみます。

すると…… 2次元ながらも、浮き出てくるように立体的になりました!

今度は、 𝑥 𝑦 =sin5𝜃 =sin4𝜃 として、リサジュ―曲線を描いてみると…… 

さらに、うねりが激しくなりましたね!

では最後に、 𝑥 𝑦 =sin7𝜃 =sin8𝜃 として、曲線を描いてみると…… 

網目が細かくなり、より立体感のある形になりました!

籠のようにも見えますね。 このリサジュ―曲線、その面白さは形状だけではありません。 

オシロスコープという、電気信号が変化していく周期変化を波形として映し出す測定器で、リサジュ―曲線を観測することができるのです。 

例えば、電気通信大学の校章にリサジュ―曲線が採用された背景として、以下のような説明が書かれています。 

オシロスコープ上のリサジュ―図形表示は、正確な無線周波数測定に利用されてきました。

このことから、無線とリサジュ―図形とは切っても切れない関係があります。 

引用元 電気通信大学とリサジュ―図形とはどの様な関係?

(2021/02/25参照) 工学的にも、深い意味があるんですね!

[数学の曲線を描いてみよう!]    

カージオイドやリサジュ―曲線、実際に描いてみたくありませんか? 

実は、簡単に描く方法があるんです。

パソコンさえあれば、数学が苦手な人もできますよ! 

今回、私は「Desmos」というオンライン上のグラフ描画ツールを使用しました。 

上記サイトの左側にある数式を入力する欄に「r=1+costheta」と、タイピングしてみてください。カージオイドが描かれます。 

もう一つ、簡単に曲線を描くことができるサイトを紹介します。

「Wolfram|Alpha」というサイトです。 

なんと、このサイトでは検索窓に数式を入力するだけで曲線を描いてくれるのです! 

次のように入力すると、今回紹介した曲線たちを描くことができますよ。 

 カージオイド 

 r=1+cos(theta) 花のような曲線(花びら2枚~5枚) 

r=1+cos(2theta) 

r=1+cos(3theta) 

r=1+cos(4theta) 

r=1+cos(5theta)

バラのような曲線 r=1+cos(7theta/8)

リサジュ―曲線(計4種類) 

(sin(2theta),sin(3theta)) 

(sin(3theta),sin(4theta)) 

(sin(5theta),sin(4theta)) 

(sin(7theta),sin(8theta))

また、これらのものを少し変えて曲線を描いてみると、新しい形状を発見できるかもしれません。

例えば、「r=1+cos(theta/8)」や「(sin(3theta),sin(5theta))」なども、ぜひ入力してみてくださいね。 

そして、実は、「Wolfram|Alpha」では、数式を入力しなくても、思いもよらない曲線を描くことができます。

試しに、「panda curve」や「rabbit curve」などと検索窓に入力してみてください。

とっても面白いことが起こりますよ!

もちろん、今回紹介したもの以外にも、数学の面白い曲線はまだまだあります。

色々な曲線を描いて、お気に入りの曲線を探し当てましょう!     

ナンスカ  より。

 

 

数学者も黙る世界一美しい数式は「オイラーの等式」!

数学者も黙る世界一美しい数式は「オイラーの等式」!何故オイラーの等式と呼ばれるものが最も美しい数式と呼ばれるか!!

 

[数学者も黙る世界一美しい数式は「オイラーの等式」]    

[mathjax] 今回は”オイラーの等式”をメインに記事にしました。 

高校2年生レベルの数学がわかれば理解出来るように書いています。

是非世界一美しい数式を堪能してください。

[オイラーの等式の下準備]   

何故オイラーの等式と呼ばれるものが最も美しい数式と呼ばれるか、それを理解するには少しだけ下準備がいります。

高校数学で理解できる範囲なので、ぜひ見てください。

[和の単位元]   

いきなり単位元という言葉を使います。何を言っているんだ?

と思うかもしれませんが和の単位元とは次の条件を満たす数字のことです。 

全ての数 x に対して x + y = x が成り立つような y を和の単位元という。

つまり、 0 のことを難しくいうと上のような数字だということです。

何を足しても値を変えない魔法の数字です。積の単位元 また単位元?

ということですが、今度は積についてです。

和についての単位元は和を取っても値を変えない数字でした。

積についての単位元とは積を取っても値を変えない数字のことです。

全ての数 x に対して x y = x が成り立つような y のことを積の単位元という。 

もうお分かりですね、

1 のことです。 

1 と 0 はみなさんお馴染みですが、次の数字はどうでしょう。

「円周率」  

円周率です。

円周率の定義はご存知ですか?

東京大学でも円周率が3.04以上であることを証明せよという入試問題を出しました。

ぜひ定義は知っておいてくださいね。

円周率とは、円周の長さ l と直径 2 r の比、 

π := l  2 r のことである。

これはもうお馴染みですね。

知らない人はいないでしょう。

「虚数」  出ました、一番胡散臭い数字。

現実には存在しない数だと認定されがちなかわいそうな数字です。

虚数とは x 2 = - 1 を満たす数字のこと。

実数は二乗すると必ず0以上になるので、虚数なんて数は存在するはずがないと度々言われます。

とても可愛そう。

「数学関連記事」  

虚数は実際に存在する?実際に虚数を作って証明してみた  2019.3.11  虚数なんて存在しない!

と言う頑固な人のために、虚数作ってみました。

もう誰にも文句は言わせない。

fa-check-square-o高校生程度の知識で読めます。

そもそもの数字の分類 虚数ってそもそも何なの?

虚数 i とは x 2 = - 1  を満たす数のことを言う。

さて、こんな数xが本当に存…

「ネイピア数」  

この数字は文系の方は知らないかと思います。

数3で習う数字です。  

指数関数 y = a x に対して y ′ = y を満たすような数 a をネイピア数といい e で表す。  

もしくは単純に lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n  のことを言います。

これもまた恐ろしい数字です。

この数字を使えば微分をしても変わらない関数ができてしまうからです。

[オイラーの等式]   

今まで紹介した数字、全部覚えてますか? 

0 , 1 , π , i , e   この中で一番怖い数字は何でしょう?

私にとっては i がすごく怖いです。

唯一実数じゃないからです。 

でもこれら全てが合わさってできる、世界一美しい式がこちらになります。 

e i π + 1 = 0

ハアーーーーキレイ!!! 

このキレイさわかります?  

π と e という最も代表的な定数。 

0 と 1 は全ての数を定義し得る数字の元祖とも言える存在。

そして i は、存在しないとまで言われ、いじめられている可愛そうな数字。

そんな彼がちょこっと仕事をするだけで、全てを平和に繋ぎ合わせてしまうんです。

[おわりに] 

e i π + 1 = 0  ハアーーーーーーーキレイ!!!   

こんなに美しい数式は見たことがない。

さすが、博士の愛した数式です。   

数学は日常に より。

 

 

私は建築家ですので、幾何学をよく勉強し、その応用が建築デザインに生かさなければなりませんでした!

私は建築家ですので、幾何学をよく勉強し、その応用が建築デザインに生かさなければなりませんでした!!!

 

今日のまとめ。

美しく楽しい数学書店には様々な「数学本」が並び、世の中の数学への関心は年々高まっている。

一方で「難しくつまらない」「何の役に立つのかわからない」などと苦手意識を持つ人も少なくないだろう。

だが実は、アートや建築物のデザインなど、意外なところに数学は入り込んでいる。

その美しさや機能性、楽しさに触れれば、数学はより身近なものに変わりうる。

身近にある神秘の小宇宙!

自然界の様々な形や現象には数学的な裏付けがある。

宇宙の天体の運行も数学に支配されている!

古代より真理求め続けて!

カテナリー曲線!ABC予想!

極めて困難な道のりを経てたどり着いた簡潔な結論に数学者は美しさを感じる!

見ても描いても楽しい!

美しい数学の曲線たち!

心臓の形をした曲線「カージオイド」!

数学者も黙る世界一美しい数式は「オイラーの等式」!

何故オイラーの等式と呼ばれるものが最も美しい数式と呼ばれるか!

今日は美しく楽しい数学について記述しました! 

私は建築家ですので、幾何学についてよく勉強し、それの応用が建築デザインに生かさなければなりませんでした! 

見ていて美しい、楽しい建築それは幾何学からきているものです! 

美しい建築はカテナリー曲線を、応用したものが多く見られます! 

建築デザインをあれこれ考えるのはとても楽しい作業でした!!

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ABOUTこの記事をかいた人

私はかなり高齢な建築家です。出身は伊豆の湯ヶ島で多くの自然に触れて育ちました。少年時代の思い出も記事になっています。趣味が多くカテゴリーは多義に渡ります。今は鮎の友釣りにハマっています。自然が好きで自然の中に居るのが、見るのが好きです。ですので樹木は特に好きで、樹木の話が多く出てきます。 電子書籍作りも勉強して、何とか発売できるまでになりました。残り少ない人生をどう生きるかが、大事です。